Oliver Konnert: Greşeli tipice în învăţarea analizei matematice

Greşeli în raţionamente matematice

Caracterul instructiv al unei prezentări metodice a unor probleme, exerciţii sau chiar numai operaţii matematice este indiscutabil, însă cu o condiţie esenţială şi obligatorie: să se refere numai la exemple normale, nu la construcţii ciudate, artificiale sau artificioase, teratologice,care nu se pot întâlni decât ca producţii ale unor amatori de excentricităţi rare. Nu trebuie să speriem tineretul cu spectrul greşelilor distrugătoare, ca nişte ameninţări cu iadul şi diavolii săi. De altfel, istoria matematicii, ca şi cea a întregii ştiinţe este agrementată de numeroase greşeli făcute de cei mai de seamă savanţi: errare humanum est.

Şi unele dintre aceste greşeli au fost binecuvântate prin inspiraţia pe care au adus-o in minţile roditoare de valori nepieritoare ale unora dintre cei căzuţi în greşeală. Aceştia pornind de la îndreptarea acestor greşeli au descoperit relaţii şi proprietăţi noi mai preţioase chiar decât cele pe care le greşiseră. Aceasta nu înseamnă însă o recomandare de a greşi in speranţa că din greşelile făcute vor apărea totdeauna merite mai mari decât cele câştigate pe drumurile obişnuite în care n-am avut şansa de a face greşeli. Ceea ce am dori să subliniem este utilitatea deosebită a studiului anticipativ al căilor care atrag atenţia asupra posibilităţilor de a greşi. De altfel, un model foarte apreciat este cel pe care îl oferă Bourbaki prin semnul de circulaţie rutieră „cotitură periculoasă” prin care se semnalează preventiv porţiunile de raţionamente şi indicaţii care ar putea conduce la greşeli.

O carte despre greşeli şi cauzele acestora

Un astfel de studiu sistematic, serios şi bine gândit ne oferă cartea profesorului Oliver Konnert de la Sibiu, scrisă sub un motiv care trebuie să ne dea mereu prilejuri de reflexie, dar în acelaşi timp şi îndemnuri optimiste de a învăţa să ne ferim de greşeli, fără a fi obsedaţi de prezenţa lor malefică in tot ce ne înconjoară, deci fără a cădea într-un misticism al păcatului, care pândeşte de pretutindeni. „Nici un lanţ nu e mai solid decât veriga lui cea mai slabă”, este semnul sub care este alcătuită această carte ce îşi propune să-i înarmeze pe elevi „cu deprinderea de a sesiza greşeala proprie, greşeala altora, greşeala in general.” Realist şi lucid, autorul, observând că „actul greşelii are un substrat psihologic deosebit de complex”, pe care de altfel nu se angajează să-l exploreze, îşi propune să se preocupe exclusiv de greşelile „care ţin de înţelegerea din punct de vedere logico-matematic a noţiunilor şi afirmaţiilor analizei matematice”.

Planul cărţii este remarcabil şi judicios. În acelaşi timp el trădează pe profesorul bun care nu urmăreşte ca poliţistul să prindă infractori pentru a-i pedepsi, ci, ca sfătuitor, să ferească pe elevii săi de a greşi acolo unde lipsa de experienţă şi elanul tineresc ce pot fi cauze de greşeli ce pot fi evitate şi chiar fructificate pentru o aprofundare a cunoştinţelor mai dificile. În partea I cititorul va găsi o colecţie bogată de teste şi lucrări scrise acoperind întreaga materie de analiză predată In liceu. Arhitectura acestei părţi intitulată „Teste şi lucrări scrise” este explicată în capitolul I, denumit „Precizări” care este un excelent ghid pentru cititor, fie el elev, fie, mai ales profesor. Acest capitol dovedeşte o pedagogie irezistibilă, pe care numai un antrenor de sportivi de performanţă o poate dezvălui, fiindcă elevii săi trebuie să i se supună dacă vor să se califice.

Astfel majoritatea testelor sunt un răspuns Ia alegere, care înseamnă alternative între adevărat sau fals, alegere multiplă sau încrucişată. Dar acest joc nu este suficient şi uneori poate deveni plictisitor, dacă nu i se deschid şi alte perspective. De aceea autorul oferă şi alte prilejuri deliberate de erori ca omiteri de ipoteze sau concluzii, ori strecurarea maliţioasă a unei greşeli în demonstraţie. Că autorul este un excelent şi pasionat pedagog o dovedeşte şi precizarea că urmăreşte mai mult greşelile care decurg din dificultăţile inerente unor probleme şi nu atât unor piedici create de limbaje. În acest domeniu important dar susceptibil de exagerări păgubitoare autorul face precizarea că respectarea strictă a regulilor calculului formal înseamnă adesea o folosire abuzivă a notaţiilor, ceea ce îl îndeamnă să respecte obişnuitele convenţii de suprimare a parantezelor şi să renunţe la unele notaţii şi condiţii ce se pot subînţelege sau nu sunt esenţiale (şi din nefericire există şi de acestea).

„Precizări” prevenitoare

În ceea ce priveşte probabilitatea de a greşi, folosind experienţa proprie şi reflexiile făcute in activitatea de cercetător şi profesor, autorul o estimează mai mică dacă ucenicul matematician şi chiar matematicianul calfă, sau maestru îşi însuşesc semnificaţia unor întrebări ca cele ce apar sub forma de instrucţii scrise şi împodobite cu figuri policrome avertizoare de greşeli în munca industrială sau în transporturi. De exemplu: ce înseamnă că o afirmaţie matematică este adevărată, dar falsă? Când o condiţie este necesară şi când este suficientă? Ce înţelegem prin contra-exemplu, dar prin reciprocă sau reciproce? Apoi, este adevărată reciproca, iar dacă sunt mai multe, care? De asemenea, tulburătoare sunt şi întrebări de fond ca analiza ipotezelor: ce rost are o condiţie de ipoteze, dacă este esenţială şi dacă da, de ce?

Că posibilitatea de a greşi nu se mărgineşte numai la începători, la micii, mijlociii sau tinerii elevi, ci poate atinge şi cercuri mult mai competente, mai pretenţioase, de matematicieni în formare sau chiar formaţi, trebuie s-o recunoaştem toţi şi să acordăm anumite indulgenţe celorlalţi în speranţa că for face la fel, în caz de nevoie, şi cu noi înşine. Vânătorii de vrăjitoare pot face mult rău printr-un puritarism inchiziţional,adesea destul de ipocrit, puritanism care niciodată nu merge până la autodafe, până la autocondamnare în cazul când păcatul propriu n-a fost descoperit de alţii, ci numai de excesivă exigenţă aplicată şi faţă de ei înşişi. Dar aceasta nu înseamnă că se poate trece cu vederea orice greşeală, când se repetă, fără ca cel care a făcut-o să înveţe ceva din ea, măcar să fie ceva mai prudent şi mai dispus să-şi revizuiască arsenalul de cunoştinţe, metode şi tehnici.

De aceea, merită să fie apreciate ca deosebit de utile observaţiile autorului, care adânceşte întrebările pe care fiecare trebuie să şi le pună şi la care cartea sa îşi propune să aducă răspunsuri instructive. „Există deseori condiţii mascate sau nedeclarate, care decid soarta teoremei”, spune el. Bineînţeles că autorii unor astfel de redactări viclene merită ei înşişi un proces intelectual şi sancţiuni profesionale adecvate, dar adesea nimeni nu-i incriminează în scris şi în consecinţă nu au nimic de suferii, ba chiar printr-un ermetism bine condus, sunt apreciaţi ca profunzi şi dificili. Dar pentru cineva care foloseşte o astfel de teoremă este necesar să se Întrebe: care sunt eventualele condiţii mascate sau nedeclarate şi ce se întâmplă dacă sunt modificate sau dacă se renunţă la ele? În cazul când concluzia nu mai este valabilă, dacă nu se poate dovedi direct această invaliditate se recurge la contraexemplu şi atunci apare întrebarea: care este cel mai simplu, cel mai convingător şi mai puţin banal contraexemplu prin care se dovedeşte falsitatea concluziei?

Am ţinut să analizăm şi să comentăm capitolul „Precizări” al acestei cărţi pentru a pune m evidenţă că ea depăşeşte prin conţinut şi prin strategie cadrul căreia declară că se adresează, cel al elevilor începători in explorarea teritoriului imens al matematicii. Este necesar să semnalăm utilitatea deosebită pe care ea o prezintă şi pentru profesioniştii de orice nivel şi grad în domeniul acestei ştiinţe dominatoare şi generoase. În încheierea acestui capitol autorul ţine să explice semnificaţiile corecte din punct de vedere logic a termenilor puşi în discuţie mai înainte. De altfel, de la început. În prefaţă se precizează că nu ar putea fi conceput un studiu asupra greşelilor fără a se face investigaţii în domeniul logicii, iar în cazul analizei, de asemenea în cele al teoriei mulţimilor şi al funcţiilor reale.

Caracterul educativ al lucrării

Contraexemplul este prezentat prin considerarea implicaţiei (∀x) [p(x) → q(x)], infirmată prin găsirea unui singur element x = a astfel incit p(a) să fie adevărată, iar q(a) falsă. În mod analog se explicitează termenii necesar şi suficient, o reciprocă a unei propoziţii în care (P1& P2& ... & Pn) → Pn+1 obţinându-se schimbând concluzia Pn+1 cu oricare dintre condiţiile Pk ale ipotezei, ceea ce conduce la posibilitatea de a avea n reciproce, care trebuie însă dovedite.

Intenţia educativă este manifestată la acest autor care nu se mulţumeşte să pună teste şi eventual să arate cititorului că a greşit sau cum să nu greşească. El prezintă testele şi problemele în partea I şi plasează la sfârşitul acestuia răspunsurile cuvenite. Astfel, cititorul va putea afla dacă a greşit adoptând o soluţie, dar aceasta nu-l mulţumeşte pe autor, fiindcă se aşteaptă ca cititorul să vrea să ştie şi de ce a greşit. Dacă o poate face singur, cu atât mai bine, dar autorul îi arată în mod deliberat aceasta în partea a II-a unde va găsi nu răspunsuri lapidare, ci soluţii, comentarii şi observaţii.

Interesul pe care l-a suscitat această lucrare este ilustrat prin faptul că la origine ea a fost lucrarea autorului pentru gradul didactic I, pe care l-a obţinut în 1977 sub conducerea tov. dr. Horea Bănea şi ca prof. dr. Ion Munteanu şi prof. Attila Furdek, atunci student, ca şi prof. dr. N. Chircoiaşu au citit cu interes manuscrisul aducându-i sugestii şi îmbunătăţiri. Şcoala sibiană de matematică şi-a adus şi ea contribuţia la perfecţionarea unor puncte ale acestui test deosebit de bogat în exemple variate şi bine alese, din care fiecare din noi ar avea ceva de învăţat.

Pentru exemplificare, vom da aici numai două exemple. Testul este de logică aplicată în raţionamentele matematice. El este formulat astfel: a, b ∈ R. Se pun întrebările: pentru validitatea relaţiei a(3 - a) + b (3 - b) ≤ 2(ab + 1), condiţia a + b ≥ 2 este sau nu necesară, nu este suficientă, este necesară şi suficientă? Răspunsul este: nu este necesară, dar soluţia este mai amplă, fiindcă relaţia poate fi pusă sub o formă echivalentă în care intră expresia a + b şi anume: (a + b)2 - 3(a + b) + 2 ≥ 0, inegalitate care revine a, a + b ∈ (- ∞, 1] U [2, ∞), de unde se vede că aceasta este condiţia necesară şi suficientă, pe când a + b ≥ 2 este numai suficientă. Felul în care este formulat testul conduce exclusiv la răspunsul: a+b ≥ 2 nu este necesară. Avem aici un exemplu de condiţie mascată şi nedeclarată la care se referea autorul în „Precizări” şi probabil că a urmărit să ofere cititorului prilejul de a o descoperi el însuşi.

Un al doilea exemplu instructiv este privitor la paritatea sau imparitatea funcţiilor. Se cere să se decidă dacă o afirmaţie este adevărată sau falsă, iar în cazul în care este falsă să se construiască un contraexemplu. Fie f : R → R. Dacă pentru orice x, y ∈ R are loc relaţia f(x + y) = f(x) - f(y), atunci f este pară. Reciproca se formulează astfel: Dacă f: R → R este pară, atunci pentru orice x, y ∈ R are loc relaţia f(x+y) = f(x) - f(y). Care dintre aceste afirmaţii este adevărată şi în cazul când este falsă să se construiască un contraexemplu. Se arată că prima este adevărată. Pentru demonstraţie se ia x = y = 0, de unde f(0) - 0, iar pentru y = - x se deduce f(x) = f(-x), deci paritate. Reciproca este falsă, cum se vede luând f(x) = x2, care conduce la (x + y)2 = x2 - y2.

Observaţii şi concluzii

Ultimul exemplu este însă chiar mai instructiv decât reiese din răspunsul şi soluţia date, fiindcă într-adevăr paritatea funcţiei rezultă, aşa cum s-a indicat. Dar, dacă avem curiozitatea de a mai încerca valori particulare vom avea o surpriză. Într-adevăr, luând x = 0 în ecuaţia funcţională obţinem f(y) = f(0) - f(y) = - f(y), de unde f(y) = 0. Prin urmare, este drept că funcţia f este pară, dar singura soluţie este funcţia identic nulă, ceea ce scade mult interesul propoziţiei directe şi face inutil contraexemplul fiindcă nici o funcţie pară definită pe R nu verifică ecuaţia funcţională în afară de f ≡ 0. Comentariul nu diminuează întru nimic valoarea educativă şi în general valoarea cărţii; el poate cel mult întări necesitatea de a se analiza teoremele cu enunţuri generale din punctul de vedere al existenţei şi generalităţii obiectelor matematice puse în cauză prin afirmaţiile enunţurilor.

Reciproca propoziţiei enunţate are ca obiect tocmai stabilirea existenţei soluţiilor pare ale ecuaţiei funcţionale f(x + y) = f(x) - f(y). Contraexemplul dat nu dovedeşte decât că există funcţii pare care nu sunt soluţii ale acestei ecuaţii, care în virtutea propoziţiei directe nu poate avea decât soluţii pare. Ce putem şi ce trebuie să reţine din această confruntare? Logic vorbind, numai faptul că nu toate funcţiile pare sunt soluţii ale acestei ecuaţii şi în acest caz propoziţia directă Începe să ridice întrebări fiindcă nu este atât de generală pe cât apare în formularea sub care ne-a fost oferită. De aceea, observaţia noastră că punând x = 0 descoperim că singura soluţie a ecuaţiei funcţionale este funcţia identic nulă, care este pară, nu este numai rodul unei curiozităţi scormonitoare, ci rodul confruntării dintre propoziţiile directă şi reciprocă.

Ea ne învaţă, între altele, că descoperirea unui contraexemplu nu este totdeauna ucigătoare pentru propoziţia devenită în acest mod falsă, ci poate fi binefăcătoare şi pentru soarta propoziţiei directe, căreia aceasta îi servea de reciprocă. Ea justifică de asemenea necesitatea căutării unor eventuale condiţii mascate sau nedeclarate, cum spune autorul. Prin aceasta, analiza unei probleme matematice poate deveni atractivă şi chiar palpitantă, cu condiţia de a urmări numai o Înţelegere mai profundă a faptelor matematice descrise în enunţul problemei, cu scopuri constructive.

Cartea profesorului Oliver Konnert oferă numeroase prilejuri de astfel de analize şi se recomandă ca atare oricui cultivă matematica pentru bogăţia de cunoştinţe care îndeamnă la cercetare şi descoperire, care pot fi culese şi fructificate prin examinarea şi aprofundarea testelor soluţiilor şi comentariilor pe care le cuprinde.